കോടി (ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തം)
ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തത്തിൽ കോടി (order) എന്ന പദം കൊണ്ട് വളരെ അടുത്തുനിൽക്കുന്ന രണ്ട് കാര്യങ്ങളെ അർത്ഥമാക്കുന്നു :
- ഒരു ഗ്രൂപ്പിന്റെ കോടി എന്നത് ആ ഗ്രൂപ്പിലെ അംഗങ്ങളുടെ എണ്ണമാണ്. പരിബദ്ധഗ്രൂപ്പുകളുടെ കോടികൾ എണ്ണൽസംഖ്യകളും അനന്തഗ്രൂപ്പുകളുടേത് അനന്തവുമാണ്.
- ഗ്രൂപ്പിലെ ഒരു അംഗത്തിന്റെ (അംഗം a എന്നു കരുതാം) കോടി എന്നത് am=e എന്നു വരുന്ന ഏറ്റവും ചെറിയ എണ്ണൽസംഖ്യയായ m ആണ്. ഇവിടെ e എന്നത് ഗ്രൂപ്പിന്റെ തൽസമകമാണ്. അത്തരം ഒരു സംഖ്യയില്ലെങ്കിൽ a യുടെ കോടി അനന്തമാണെന്നു പറയുന്നു.
G എന്ന ഗ്രൂപ്പിന്റെ കോടിയെ ord(G) അഥവാ |G| എന്നും a എന്ന അംഗത്തിന്റെ കോടിയെ ord(a) അഥവാ |a| എന്നും സൂചിപ്പിക്കുന്നു.
ഉദാഹരണം
[തിരുത്തുക]സമമിതീയഗ്രൂപ്പായ S3 ഉദാഹരണമായെടുക്കുക. ഈ ഗ്രൂപ്പിന്റെ കെയ്ലി പട്ടിക താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്നു.
• e s t u v w e e s t u v w s s e v w t u t t u e s w v u u t w v e s v v w s e u t w w v u t s e
ഗ്രൂപ്പിൽ ആറ് അംഗങ്ങളുള്ളതിനാൽ ഗ്രൂപ്പിന്റെ കോടി ആറാണ്. ഗ്രൂപ്പ് അംഗങ്ങളുടെ കോടികൾ ഇപ്രകാരമാണ്:
- e (തൽസമകം) : 1
- s, t, w : 2
- u, v : 3
സവിശേഷതകൾ
[തിരുത്തുക]- തൽസമകത്തിന്റെ കോടി എല്ലായ്പ്പോഴും 1 തന്നെ ആയിരിക്കും
- ഒരു പരിബദ്ധഗ്രൂപ്പിലെ ഓരോ അംഗത്തിന്റെയും കോടി പരിബദ്ധവും ഗ്രൂപ്പ് കോടിയുടെ ഘടകവും ആയിരിക്കും
- ഒരു ഗ്രൂപ്പിൽ തൽസമകമൊഴികെയുള്ള എല്ലാ അംഗങ്ങളുടെയും കോടി 2 ആണെങ്കിൽ അതൊരു ക്രമഗ്രൂപ്പായിരിക്കും
- p എന്നത് ഒരു പരിബദ്ധഗ്രൂപ്പിന്റെ കോടിയുടെ ഘടകമായ ഒരു അഭാജ്യസംഖ്യ ആണെങ്കിൽ p കോടി ആയുള്ള ഒരംഗമെങ്കിലും ഗ്രൂപ്പിൽ ഉണ്ടായിരിക്കും
- ord(ak) = ord(a) / gcd(ord(a), k)
- a, b എന്നിവ ഒരു ഗ്രൂപ്പിലെ അംഗങ്ങളാണെങ്കിൽ ord(ab)=ord(ba)