എത്യോപ്യൻ ഗുണിതം

ഇംഗ്ലീഷ് വിലാസം

https://ml.wikipedia.org/wiki/Ethiopian_multiplication

ഭാരതത്തിലെ വേദഗണിതമെന്ന പോലെ പുരാതന എത്യോപ്യയിൽ നിലവിലുണ്ടായിരുന്നൊരു ഗുണിതരീതിയാണ് എത്യോപ്യൻ ഗുണിതം. അല്പം മാറ്റങ്ങളോടെ ഇന്നും റഷ്യയുടെ ഉൾഗ്രാമങ്ങളിൽ ഈ രീതി ഉപയോഗിച്ചുവരുന്നുണ്ട്. സംഖ്യകളെ തമ്മിൽ കൂട്ടാനും ഇരട്ടിപ്പിക്കാനും പകുതി കാണാനും മാത്രം അറിയാവുന്ന ഒരാൾക്ക് വളരെ എളുപ്പം ചെയ്യാവുന്ന ഒരു രീതിയാണിത്.

ഗുണന രീതി

ഗുണിക്കേണ്ട സംഖ്യകളെ രണ്ടു നിരകളായി എഴുതുന്നു. ഒന്നിനെ ഹൗസെന്നും രണ്ടാമത്തേതിനെ പെബിൾസെന്നും വിളിക്കുന്നു. സാധാരണയായി വലതുവശത്തെ നിരയേയാണു പെബിൾസെന്നു പറയുന്നത്. എന്നാൽ ഹൗസെന്ന രണ്ടാമത്തേ നിരയെ വലതുവശത്തെഴുതുന്ന രീതിയും ഉണ്ട്. ഗുണിക്കേണ്ട രണ്ടു സംഖ്യകളിൽ ഏതിനെ പെബിൾസാക്കണമെന്ന് ഗുണിക്കുന്ന ആൾക്കു തീരുമാനിക്കാവുന്നതാണ്. ഈ ഗുണന രീതിയനുസരിച്ച് പെബിൾസിലെ ഗുണിക്കേണ്ട സംഖ്യയെ ഓരോ വരിയിലും ഇരട്ടിപ്പിക്കുന്നു. അതേ സമയം ഹൗസിലെ ഗുണിക്കേണ്ട സംഖ്യയെ ഓരോ വരിയിലും നേർപകുതിയായി കൂറച്ചെഴുതുന്നു. ഹൗസിലെ സംഖ്യ ഒന്നിലെത്തുന്നതു വരെ ഇതു തുടരണം. ഹൗസിലെ ഗുണിക്കേണ്ട സംഖ്യ ഒറ്റസംഖ്യ ആണെങ്കിൽ അതിനെ പകുതി ആക്കുമ്പോൾ ശിഷ്‌ടം കിട്ടും. അങ്ങനെ കിട്ടുന്ന ശിഷ്‌ടം ഒഴിവാക്കുകയാണു ചെയ്യുക (ഉദാഹരണത്തിന് 125 എടുക്കുക, 125 - ന്റെ പകുതി 62 ആയിട്ടെടുത്ത് ശിഷ്‌ടം വരുന്ന ഒന്നിനെ ഒഴിവാക്കുന്നു). ഇനി, ഹൗസിൽ വരുന്ന സംഖ്യകൾ വളരെ പ്രധാനപ്പെട്ടതാവുന്നു. ഹൗസിലെ ഒറ്റസംഖ്യകൾക്കു നേരെ അടുത്ത നിരയിൽ വരുന്ന പെബിൾസിലെ സംഖ്യകളെ തമ്മിൽ കൂട്ടിയാൽ ഗുണന ഫലം ലഭിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണവും വിശദീകരണവും

24 - ഉം 36 - ഉം തമ്മിൽ ഗുളിക്കണമെന്നിരിക്കട്ടെ, ഇവിടെ 24 - ന്റെ കൂട്ടത്തെ ഹൗസായും 36 - ന്റെ കൂട്ടത്തെ പെബിൾസായും എടുക്കുന്നു. ഹൗസിനെ ഓരോ നിരയിലും പകുതിയാക്കണം (ശിഷ്ടം വരുമ്പോൾ അതിനെ ഒഴിവാക്കണം) അതുപോലെ പെബിൾസിനെ ഓരോ നിരയിലും ഇരട്ടിപ്പിക്കണം എന്ന നിയമം വെച്ച് താഴെ കാണുന്നതു പോലെ ഒരു പട്ടിക കിട്ടുന്നു.

ഹൗസ്	പെബിൾസ്
24	36
12	72
6	144
3	288
1	576

ഹൗസിലെ അവസാന രണ്ടു കള്ളികളിൽ മാത്രമേ ഇവിടെ ഒറ്റസംഖ്യകൾ വന്നിട്ടുള്ളൂ. അതുകൊണ്ട് അതിനു നേരേയുള്ള പെബിൾസിലെ സംഖ്യകളെ തമ്മിൽ കൂട്ടിയാൽ (576 + 288) 24 - ഉം 36 - ഉം ഗുണിച്ച ഫലം, 864 കിട്ടുന്നു. താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന ഉദാഹരണങ്ങൾ കൂടി നോക്കുക.

123 x 324 ഹൗസ് പെബിൾസ് 123 324 61 648 30 1296 15 2592 7 5184 3 10368 1 20736 39852	75 x 1336 ഹൗസ് പെബിൾസ് 75 1336 37 2672 18 5344 9 10688 4 21376 2 42752 1 85504 100200	9 x 8 ഹൗസ് പെബിൾസ് 9 8 4 16 2 32 1 64 72
ഇവിടെ, 123 - നെ 324 കൊണ്ടും, 75 - നെ 1336 കൊണ്ടും, 9 - നെ 8 കൊണ്ടും ഗുണിച്ചിരിക്കുന്നു. ഹൗസ് എന്ന ഗണത്തിൽ പച്ച നിറത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന സംഖ്യകൾ ഒറ്റസംഖ്യകളാണ്‌. അവയ്ക്കുനേരെ പെബിൾസിലുള്ള ചുവന്ന നിറത്തിലുള്ള സംഖ്യകൾ തമ്മിലാണ്‌ കുട്ടേണ്ടത്.

ദ്വയാങ്കസംഖ്യാവ്യവസ്ഥയുടെ പ്രസക്തി

നിലവിലുള്ള സഖ്യാനസമ്പ്രദായം പത്തിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയിട്ടുള്ളതാണല്ലോ. അതുകൊണ്ടുതന്നെ ഗുണനവും ഹരണവുമൊക്കെ ഈ ദശാംശസംഖ്യാ വ്യവസ്ഥയിൽ (Decimal System) ക്രമപ്പെടുത്തിയിരിക്കുകയാണ്. ഇവിടെ, ഏത്യോപ്യൻ രീതിയിൽ ഉപയോഗിച്ചിരിക്കുന്നത് രണ്ടക്കങ്ങൾ (ഒന്നും പൂജ്യവും) മാത്രം ഉപയോഗിച്ച് ചെയ്യുന്ന സഖ്യാസമ്പ്രദായമായ ദ്വയാങ്കസംഖ്യാവ്യവസ്ഥയാണ് (Binary System). ഇതെങ്ങനെ ഇവിടെ പ്രയോഗത്തിൽ വരുത്തി എന്നു നോക്കാം. മുകളിൽ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന മൂന്നുദാഹരണങ്ങളിലെ രണ്ടാമത്തെ ഉദാഹരണമെടുക്കുക. 75 x 1336 = 100200. 75 - നെ ദ്വയാങ്കസംഖ്യാന രീതിയിലേക്കു മാറ്റുമ്പോൾ 1001011 എന്നു കിട്ടുന്നു. ഇനി താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന പട്ടിക നോക്കുക. ഇവിടെ ഇടതുവശത്തെ വരിയിൽ ഗുണിക്കേണ്ട സംഖ്യയായ 75 - നെ ദ്വയാങ്കസംഖ്യാനരീതിയിലേക്കു മാറ്റി എഴുതിയിരിക്കുകയാണ്. എവിടെയൊക്കെയാണോ ഇരട്ടസംഖ്യകൾ (ദ്വയാങ്കസംഖ്യാന രീതിയില് ‍0) വരുന്നത് ആ നിരയെ ഒഴിവാക്കി ഒറ്റസംഖ്യകൾ (ദ്വയാങ്കസംഖ്യാന രീതിയിൽ 1) വരുന്ന നിരയിലെ പെബിൾസിനെ കൂട്ടി എഴുതിയാണ് എത്യോപ്യൻ ഗുണനം സാധ്യമാവുന്നത്.

ദ്വയാങ്കസംഖ്യ	ഹൗസ്	പെബിൾസ്	ഇരട്ടിക്കുന്ന രീതി
1	75	1336	1336 X 20
1	37	2672	1336 X 21
0	18	5344	1336 X 22
1	9	10688	1336 X 23
0	4	21376	1336 X 24
0	2	42752	1336 X 25
1	1	85504	1336 X 26

മുകളിലെ പട്ടികയിൽ അവസാനത്തെ വരി നോക്കുക. പെബിൽസ് ഗണത്തിലെ സംഖ്യയെ ഇരട്ടിപ്പിക്കുന്ന രീതിയും ദ്വയാങ്കസംഖ്യാവ്യവസ്ഥയെ സാധൂകരിക്കുന്ന രീതിയിൽ തന്നെയാണ്‌ എന്നു മനസ്സിലാക്കാനാവും.

ഇന്നത്തെ അവസ്ഥ

റഷ്യയിലെ ചില ഗ്രാമങ്ങളിൽ മാത്രമേ ഈ രീതി ഇന്നു നിലനിൽക്കുന്നുള്ളൂ. വളരെ കൃത്യതയുള്ള ഈ ഗുണനരീതി ഇന്നത്തെ സങ്കീർണമായ ഗുണനരീതിയേക്കാൾ എത്രയോ മുൻപന്തിയിലാണെങ്കിലും കമ്പ്യൂട്ടർ, കാൽക്കുലേറ്റർ പോലുള്ള ആധുനിക സാങ്കേതികവിദ്യകളുടെ വരവോടെ പിന്തള്ളപ്പെട്ടുപോവുന്നു.