ത്രികോണമിതി

ഇംഗ്ലീഷ് വിലാസം

https://ml.wikipedia.org/wiki/Trigonometry

മട്ടത്രികോണം

ത്രികോണങ്ങളിലെ കോണുകളുടെയും വശങ്ങളുടെയും ഗണിതശാസ്ത്രവിഭാഗമാണ് ത്രികോണമിതി(Trigonometry).

ഈ ഗണിതശാസ്ത്രവിഭാഗത്തിലെ രണ്ട് പ്രധാന ഉപശാഖകളാണ് പ്രതല ത്രികോണമിതി യും (Plane Trigonometry) ഗോളീയ ത്രികോണമിതിയും (Spherical Trigonometry). സമതലത്തിൽ രചിച്ചിരിക്കുന്ന ത്രികോണങ്ങളെപ്പറ്റി പ്രതിപാദിക്കുന്ന ഉപശാഖയാണ് പ്രതല ത്രികോണമിതി; ഗോളീയ ത്രികോണമിതി, ഒരു ഗോളത്തിന്മേൽ രചിച്ചിരിക്കുന്ന ത്രികോണങ്ങളെപ്പറ്റിയുള്ള പഠനങ്ങളാണ്.

ത്രികോണമിതിയുടെ പിതാവായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നത് ഹിപ്പാർക്കസ്സിനേയാണ്.

പ്രതലത്രികോണമിതി

Angles

ത്രികോണമിതിയിലെ പ്രധാനപ്പെട്ട ആശയങ്ങളിൽ ഒന്നാണ് കോൺ (Angle) എന്ന ആശയം. ശീർഷം ആധാരമാക്കി കറങ്ങിക്കൊണ്ടിരിക്കുന്ന ഒരു രശ്മി അടിസ്ഥാനമാക്കിയാണ് ഒരു ത്രികോണമിതീയകോൺ ഉണ്ടാവുന്നത് എന്നാണ് സങ്കല്പം. അപ്രദക്ഷിണദിശയിൽ കറങ്ങിക്കൊണ്ടിരിക്കുന്ന രശ്മിയുടെ ഒരു സമയത്തെ സ്ഥാനം ആരംഭവശമായും, പിന്നീടൊരു സമയത്തെ സ്ഥാനം അന്ത്യവശമായും പരിഗണിക്കുന്നു. ഇപ്രകാരം ഉണ്ടാവുന്ന കോണിന്റെ വിരിവാണ് കോണിന്റെ അളവായി കണക്കാക്കുന്നത്.

ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ ആരവും പരിധിയുമായി ബന്ധപ്പെടുത്തിയാണ് കോണളവിന്റെ റേഡിയൻ (Radian) എന്ന ഏകകം ( എസ്.ഐ.) നിർണ്ണയിച്ചിരിക്കുന്നത്. ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ രണ്ട് ആരങ്ങൾ വശങ്ങളായി വരുന്ന ഒരു കോൺ ഖണ്ഡിക്കുന്ന വൃത്തചാപത്തിന്റെ നീളം വൃത്തത്തിന്റെ ആരത്തിനു തുല്യമായിരിക്കുമ്പോൾ ഉള്ള കോണളവാണ് ഒരു റേഡിയൻ ആയി നിശ്ചയിച്ചിരിക്കുന്നത്. ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ പരിധിയുടെ ആകെ നീളം, അതിന്റെ ആരത്തിന്റെ 2π മടങ്ങാകയാൽ, വൃത്തത്തിനു ചുറ്റും 2π റേഡിയൻ കോണളവുണ്ട്. കോണളവു π റേഡിയനാകുമ്പോൾ, കോണിന്റെ രണ്ടു വശങ്ങളും ഒരു നേർരേഖയിലായിരിക്കും. കോണളവു π/2 റേഡിയനാകുമ്പോൾ, കോണിന്റെ രണ്ടു വശങ്ങളും പരസ്പരം ലംബങ്ങളായിരിക്കും. മട്ടകോൺ (Right Angle) എന്നാണ് ഈ കോണിനെ വിളിക്കുന്നത്. ഒരു കോൺ പ്രദക്ഷിണദിശയിൽ അളക്കുമ്പോൾ അത് ധനകോണായും, അപ്രദക്ഷിണദിശയിൽ അളക്കുമ്പോൾ അത് ഋണകോണായും പരിഗണിക്കുന്നു.

കോണളവിന് ഡിഗ്രി (Degree) എന്നൊരു ഏകകം വളരെ പ്രചാരത്തിലുണ്ട്. വൃത്തത്തിന്റെ ആരം, ആ കോണുൾക്കൊള്ളുന്ന വൃത്തചാപത്തിന്റെ നീളത്തിന്റെ 1/360 ഭാഗമായാൽ ഉളവാകുന്ന കോണളവാണ് ഒരു ഡിഗ്രി ആയി നിശ്ചയിച്ചിരിക്കുന്നത്. ചെറിയ കോണുകൾ അളക്കുന്നതിനായി, ഒരു ഡിഗ്രിയെ 60 തുല്യ മിനുട്ടുകളായും, ഓരോ മിനുട്ടിനേയും 60 തുല്യ സെക്കന്റുകളായും വീണ്ടും ‍വിഭജിച്ചിട്ടുണ്ട്.

ത്രികോണവും സവിശേഷതകളും

മൂന്നു ഋജുരേഖാഖണ്ഡങ്ങൾ (Line Segments) മാത്രം വശങ്ങളായി വരുന്ന ഒരു സംവൃതചിത്രമാണ് (Closed Figure) ത്രികോണം. അതിന് മൂന്ന് കോണുകളുമുണ്ട്. ത്രികോണത്തിന്റെ മൂന്നു വശങ്ങളുടേയും മൂന്നു കോണുകളുടെയും ആളവുകൾ തമ്മിൽ പരസ്പരം ചില സവിശേഷ ബന്ധങ്ങളുണ്ട്. ഉദാഹരണത്തിന്, 'ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ ഏതു രണ്ടു വശങ്ങളുടെയും തുക, മൂന്നാമത്തെ വശത്തിനേക്കാൾ എപ്പോഴും കൂടുതലായിരിക്കും. ഇത് ത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള ബന്ധം. മറ്റൊന്ന്, കോണുകൾ തമ്മിലുള്ള ബന്ധമാണ്. അതായത്, ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ മൂന്നു കോണുകളുടെയും തുക രണ്ടു മട്ടകോണുകൾക്കു (2π റേഡിയൻ അല്ലെങ്കിൽ 180 ഡിഗ്രി ‍) തുല്യമായിരിക്കും എന്ന്. ഈ ബന്ധങ്ങൾ അനുസരിക്കാത്ത ഒരു ത്രികോണം നിർമ്മിക്കുക സാധ്യമല്ല. എന്നാൽ, ത്രികോണമിതി വിശദീകരിക്കുന്നത്, കോണുകളും വശങ്ങളും തമ്മിലുള്ള പരസ്പര ബന്ധത്തെപ്പറ്റിയാണ്.

ഒരു സാധാരണ ബീജീയസമവാക്യം കൊണ്ട് ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങളും കോണുകളും തമ്മിൽ ബന്ധപ്പെടുത്താൻ കഴിയില്ല. അതുകൊണ്ട്, ത്രികോണമിതീയ ഫലങ്ങൾ എന്ന ചില ബന്ധങ്ങൾ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു. ഇവയുപയോഗിച്ച്, വശങ്ങളും കോണുകളും തമ്മിൽ ബീജീയമായി ബന്ധപ്പെടുത്താൻ കഴിയും. ത്രികോണമിതിയിൽ, ഒരു മട്ടത്രികോണം ആധാരമാക്കിയാണ് വശങ്ങളും കോണുകളും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം സ്ഥാപിക്കുന്നത്. ഒരു മട്ടത്രികോണത്തിലെ മട്ടകോണല്ലാത്ത ഏതെങ്കിലും ഒരു കോണും‍, ത്രികോണത്തിന്റെ രണ്ടു വശങ്ങളുടെ അംശബന്ധ(Ratio)വുമായി മൂന്നുതരം തുലനങ്ങൾ സാധ്യമാണ്. കോണിന്റെ എതിർവശവും കർണ്ണവുമായുള്ള അനുപാതം കോണളവിന്റെ സൈൻ (Sine) എന്ന അളവായും,‍സമീപവശവും കർണ്ണവുമായുള്ള, അംശബന്ധം കോണളവിന്റെ കൊസൈൻ (Cosine) എന്ന അളവായും, കോണിന്റെ എതിർവശവും സമീപവശവുമായുള്ള അംശബന്ധം, ടാൻജന്റ് (Tangent) എന്ന അളവായും നിശ്ചയിച്ചിരിക്കുന്നു. Sin, Cos, Tan എന്ന് സംജ്ഞാരീതിയിൽ ചുരുക്കിയാണ് മേൽപ്പറഞ്ഞ അളവുകൾ എഴുതാറുള്ളത്. അതുകൊണ്ട്, ഗണിത രീതിയിൽ, ഈ അളവുകളെ യഥാക്രമം ഇപ്രകാരം എഴുതാം:

$\sin A\,$ = എതിർ‌വശം / കർണ്ണം

$\cos A\,$ = സമീപവശം / കർണ്ണം

$\tan A\,$ = എതിർ‌വശം / സമീപവശം

ഇവിടെ, A എന്ന അക്ഷരം കോണളവിനെയാണ് സൂചിപ്പിക്കുന്നത്. മേൽക്കാണിച്ചിരിക്കുന്ന അംശബന്ധങ്ങളും അവയുടെ യഥാക്രമ വ്യൂത്ക്രമാംശബന്ധങ്ങളായ കൊസീക്കന്റ് (Cosecant), സീക്കന്റ് (Secant), കൊട്ടാൻജന്റ് (Cotangent) എന്നിവ ത്രികോണമിതിയാംശബന്ധങ്ങൾ (Trignometric Ratios) എന്നും അറിയപ്പെടുന്നു.

${\text{cosec }}A\,$ = കർണ്ണം / എതിർ‌വശം

$\sec A\,$ = കർണ്ണം / സമീപവശം

$\cot A\,$ = സമീപവശം / എതിർ‌വശം

ത്രികോണങ്ങളുടെ ഈ അംശബന്ധങ്ങൾ, ത്രികോണങ്ങളുടെ നിർദ്ധാരണം (Solution of Triangles) - വശങ്ങളുടെ അളവുകളിൽ നിന്ന് കോണളവുകൾ കണക്കാക്കുന്നതും, വിസ്തീർണ്ണവും രണ്ടു കോണളവുകളും തന്നാൽ അതിൽനിന്ന് വശങ്ങളുടെ നീളം കണ്ടുപിടിക്കുന്നതും, സർവ്വസമമോ, സദൃശമോ ആയ ത്രികോണങ്ങളുടെ അളവുകൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നതും ഒക്കെ - വളരെ ലളിതമാക്കിത്തീർക്കുന്നു.

ത്രികോണമിതിയുടെ ഉപയോഗങ്ങൾ

മേൽക്കോൺ

ജ്യാമിതീയപ്രശ്നങ്ങൾ ഏതാണ്ടെല്ലാം തന്നെ ത്രികോണങ്ങളുടെ നിർദ്ധാരണങ്ങളായി മാറ്റാൻ കഴിയും.അതുകൊണ്ട്, ഇത്തരം പ്രശ്നങ്ങൾ നിർദ്ധാരണം ചെയ്യേണ്ട ശാസ്ത്ര-സാങ്കേതികവിദ്യാരംഗങ്ങളിലെല്ലാം ത്രികോണമിതി വളരെ വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഭൂമിയിലെ വൃക്ഷങ്ങളുടെയും മലകളുടെയും ഉയരവും നദികളുടെ വീതിയും മുതൽ വിദൂരനക്ഷത്രങ്ങളിലേക്കുള്ള ദൂരങ്ങൾ വരെ, അകലങ്ങൾ അളക്കേണ്ടിവരുന്ന സന്ദർഭങ്ങളിലെല്ലാം ത്രികോണമിതി ഉപയോഗിക്കാം. സദൃശത്രികോണങ്ങളുടെ വശങ്ങളുടെ ആനുപാതികതയാണ്‌ ഇത്തരം സന്ദർഭങ്ങളിൽ ഉപയോഗിക്കുന്നത്. നേരിട്ട്‌ അളന്നുകണ്ടുപിടിക്കാൻ വിഷമമായ മരങ്ങളുടേയും മലകളുടേയുമെല്ലാം ഉയരം,ക്ളൈനൊമീറ്ററും ത്രികോണമിതിയും ഉപയോഗിച്ചാണ്‌ കണക്കാക്കുന്നത്‌.മേൽകോൺ അളക്കാൻ ഉപയോഗിക്കുന്ന ഉപകരണമാണ്‌ ക്ളൈനൊമീറ്റർ. കെട്ടിടങ്ങളുടേയും സംരചനകളുടെയും യന്ത്രങ്ങളുടേയും നിർമ്മാണം, വൈദ്യുതസാങ്കേതികവിദ്യ തുടങ്ങി അനവധി മണ്ഡലങ്ങളിൽ ത്രികോണമിതി വ്യാപകമായി ഉപയോഗിച്ചുവരുന്നു

ചരിത്രം

ജ്യോതിശാസ്ത്രത്തിലാണ് ത്രികോണങ്ങൾ നിർദ്ധാരണം ചെയ്യേണ്ട ആവശ്യകത ആദ്യമായി വന്നത്. വളരെക്കാലം ആ ശാസ്ത്രവുമായി ബന്ധപ്പെട്ടാണ് ത്രികോണമിതി വികസിച്ചത്. ലഭ്യമായ അറിവനുസരിച്ച്, ബി.സി. രണ്ടാം നൂറ്റാണ്ടിന്റെ മധ്യകാലത്ത്, ‍ ഗ്രീക്ക് ജ്യോതിശാസ്ത്രജ്ഞനായ ഹിപ്പാർക്കസ്സാണ് ഗോളീയത്രികോണങ്ങൾ നിർദ്ധാരണം സംബന്ധിച്ച് ആദ്യം എഴുതിയത്. എന്നാൽ അദ്ദേഹത്തിന്റെ രചനകൾ ഇന്നു ലഭ്യമല്ല. അക്കാലത്ത്, ത്രികോണമിതി ഏറ്റവും വികസിപ്പിച്ചത് ടോളമിയാണ്. സൈൻ, കൊസൈൻ തുടങ്ങിയ ത്രികോണാംശബന്ധങ്ങൾ യവനർ ഉപയോഗിച്ചിരുന്നില്ല. പകരം, ഒരു വൃത്തചാപം നിർണ്ണയിക്കുന്ന കോണളവിൽനിന്ന് അതിന്റെ ഞാൺ (Chord) കണ്ടുപിടിക്കാനുതകുന്ന പട്ടികകളാണ് ഉപയോഗിച്ചിരുന്നത്. കോണുകളും ചാപങ്ങളും അവർ ഡിഗ്രിയിലാണ് അളന്നിരുന്നത്. ഈ ഷോഡശസമ്പ്രദായം (Sexagesimal System) യവനർ ബാബിലോണിയാക്കാരിൽ നിന്നു കടം കൊണ്ടതായിരുന്നു.

മധ്യ കാലഘട്ടത്തിൽ ഇന്ത്യൻ ജ്യോതിശാസ്ത്രജ്ഞർ ത്രികോണമിതിയിൽ ഗണനീയമായി വികസിപ്പിച്ചു. അവരും ബാബിലോണിയരുടെ ഡിഗ്രി അളവു തന്നെ സ്വീകരിച്ചിരുന്നു. എന്നാൽ, യവനരിൽ നിന്നു വ്യത്യസ്തമായി വൃത്തചാപങ്ങളുടെ ഞാണുകൾക്കു പകരം ആരത്തിന്റെ സൈൻ, കൊസൈൻ രേഖകളായിരുന്നു കണക്കുകൂട്ടലിനായി പരിഗണിച്ചിരുന്നത്. ഭാരതീയ ശാസ്ത്രജ്ഞരുടെ സൈൻ പട്ടികകളിൽ ഏറ്റവും പഴയത് 4-5 നൂറ്റാണ്ടുളിൽ നിമ്മിച്ചവയാണ്; അത് ടോളമിയുടെ പട്ടികയോളം സൂക്ഷ്മമായിരുന്നില്ല. ടോളമിയുടെ പട്ടിക, അരഡിഗ്രി വരെ സൂക്ഷ്മമായിരുന്നു; ഭാരതീയരുടേത്, 3ഡിഗ്രി 45 സെക്കൻഡു വരെയും- അതായത്, ഒരു കാൽ വൃത്തചാപത്തിന്റെ (Quadrant Arc) 1/24 അംശം വരെ. ആര്യഭടൻ (ഏ.ഡി. 500), ബ്രഹ്മഗുപ്തൻ (ഏ. ഡി. 600) തുടങ്ങിയവരാണ്‌ ഭാരതത്തിൽ ത്രികോണമിതി വികസിപ്പിച്ചവരിൽ പ്രമുഖർ. ഭാരതീയ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ sine എന്നതിന്‌ ഭുജ്യാവ് എന്നും cosine എന്നതിന്‌ കോടിജ്യാവ് എന്നും ഉപയോഗിച്ചിരുന്നതായി കാണുന്നുണ്ട്

പിന്നീട്, ഒൻപതു മുതൽ പതിനാലാം നൂറ്റാണ്ടുവരെ, അറബ് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരാണ് ഈ ശാസ്ത്രം വികസിപ്പിച്ചത്. ബുജാനിലെ മുഹമ്മദ് എന്നറിയപ്പെട്ടിരുന്ന അബുൾ വാഫാ, (ഏ.ഡി. പത്താം നൂറ്റാണ്ട്‌) ടാൻജന്റ്, കൊട്ടാൻജന്റ്, സീക്കന്റ്, കൊസീക്കന്റ് എന്നീ ആശയങ്ങളും കൂട്ടിച്ചേർ‍ത്തു. ഇന്നു കാണുന്ന അവയുടെ നിർവ്വചനങ്ങളും അവതമ്മിലുള്ള ബന്ധങ്ങളും അദ്ദേഹത്തിന്റെ സംഭാവനയാണ്. നാസിർ എദ്-ദിൻ അൽത്തൂസി (ഏ.ഡി. പതിമൂന്നാം നൂറ്റാണ്ട്‌) യാണ് ത്രികോണമിതി ഒരു സ്വതന്ത്ര ശാഖയായി വികസിപ്പിച്ചത്. അദ്ദേഹം, പ്രതല-ഗോളീയ ത്രികോണങ്ങൾ നിർദ്ധാരണങ്ങൾ ചിട്ടപ്പെടുത്തുകയും പുതിയ മാർഗ്ഗങ്ങൾ നിർദ്ദേശിക്കുകയും ചെയ്തു..

പന്ത്രണ്ടാം നൂറ്റാണ്ടിൽ, അറബിൽ നിന്ൻ ജ്യോതിശാസ്ത്ര ഗ്രന്ഥങ്ങൾ ലത്തീൻ ഭാഷയിലേക്കു തർജ്ജമ ചെയ്യപ്പെട്ടതോടെയാണ് യൂറോപ്പിയന്മാർ ഈ ശാസ്ത്രം പഠിക്കാൻ തുടങ്ങിയത്. എന്നാൽ, അറബികളുടെ പല കണ്ടെത്തലുകളും - നാസിറിന്റെ രചനകളടക്കം- യൂറോപ്പിയർക്ക് അജ്ഞാതമായിരുന്നു. രണ്ടു നൂറ്റാണ്ടുകൾക്കു ശേഷമാണ്, ജർമ്മൻ ജ്യോതിശാസ്ത്രജ്ഞനായ ജോഹാൻ മ്യുള്ളർ (1436-1476) ആ കാര്യങ്ങൾ വീണ്ടും കണ്ടുപിടിച്ചത്..

കേരളീയ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരായ ‍സംഗമഗ്രാമ മാധവനും , നീലകണ്ഠ സോമയാജിയും (ഏ.ഡി. പതിനഞ്ചാം നൂറ്റാണ്ട്‌), കലന സിദ്ധാന്തത്തിലൂടെ ന്യൂട്ടനും മറ്റും കണ്ടെത്തിയ പല ത്രികോണമിതീയതത്വങ്ങളും ന്യൂട്ടന്‌ മൂന്നു നൂറ്റാണ്ട്‌ മുമ്പുതന്നെ കണ്ടെത്തിയിരുന്നു..

ത്രികോണമിതിയിലെ പിരമിഡുകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ആശയം 84 ഗണിതപ്രശ്നങ്ങളും പരിഹാരനിർദ്ദേശങ്ങളും അടങ്ങിയ റിണ്ട് പാപ്പിറസ്സ് എന്ന ഗ്രന്ഥത്തിൽ കാണാം.സെക്വിറ്റ് എന്ന ഒരു പദം ഇതിൽ നിർവ്വചിച്ചിട്ടുണ്ട്.സെക്വിറ്റ് എന്നാൽ ലം‌ബ അകലത്തിൽ ഉണ്ടാകുന്ന ഒരു ഏകക വർദ്ധനവിന് അനുസൃതമായി തിരശ്ചീന അകലത്തിൽ ഉണ്ടാകുന്ന മാറ്റം എന്നാണ്.സെക്വിറ്റ് സ്ഥിരമായിരുന്നാൽ ചരിഞ്ഞപ്രതലങ്ങളുടെ ചെരിവ് ഒരുപോലെയായിരിക്കും.

ഗ്രീക്ക് ത്രികോണമിതി

ബാഹ്യപ്രപഞ്ചത്തെക്കുറിച്ച് കൂടുതൽ വിവരങ്ങൾ ലഭ്യമാക്കുന്നതിനായി ജ്യോതിശ്ശാസ്ത്രപഠനങ്ങൾ നടത്തുകയും ഇതിനുള്ള ശക്തമായ ഒരു മാർഗ്ഗമായി ത്രികോണമിതിയെ ഗ്രീക്കുകാർ ഉപയോഗിച്ചു.മട്ടത്രികോണങ്ങൾക്ക് പകരം വൃത്തങ്ങളും അതിന്റെ ഞാണും കേന്ദ്രകോണും തമ്മിലുള്ള അംശബന്ധമാണ് ഇവരുപയോഗിച്ചത്.ആയതിനാൽ ഇത്തരം ത്രികോണമിതിയെ കോർഡോമെട്രി എന്നും പറയുന്നു.നിലവിലിരുന്ന ഷഷ്ഠിയാംശവ്യവസ്ഥയിൽ വൃത്തത്തിന്റെ ആരം 60ഏകകങ്ങൾ ആക്കിയെടുത്താണ് ഇവർ ചെയ്തിരുന്നത്.ടോളമിയുടെ അൽമാജസ്റ്റ് എന്ന പ്രാമാണികഗ്രന്ഥത്തിൽ ത്രികോണമിതിയെപ്പറ്റി പറഞ്ഞിരിക്കുന്നു.

ഭാരതീയ ത്രികോണമിതി

സൂര്യസിദ്ധാന്ത എന്ന ഗ്രന്ഥത്തിൽ ഭാരതത്തിൽ ഉപയോഗിച്ചിരുന്ന ത്രികോണമിതി വ്യവസ്ഥ കാണാം.ഈ ഗ്രന്ഥത്തെ ആധാരമാക്കി വരാഹമിഹിരൻ രചിച്ച പഞ്ചസിദ്ധാന്തിക എന്ന ഗ്രന്ഥത്തിൽ അർദ്ധജ്യാ എന്ന പദം കൊണ്ട് ആധുനിക സൈനുമായി ആശയസാമ്യം വരുന്ന വിലകളുടെ പട്ടിക നൽകിയിട്ടുണ്ട്.ആദ്യമായി ഈ വിലകളെ പ്രയോജനപ്പെടുത്തിയത് ആര്യഭടനാണ്.ത്രികോണമിതിയിലെ സദാസത്യവാക്യങ്ങൾക്ക് സമാനമായ പ്രസ്താവനകളും കാണാം.

അറബി ത്രികോണമിതി

എ.ഡി 10ആം ശതകത്തിൽ അബുവെഫാ ടാൻജെന്റ് എന്തെന്ന് നിർവ്വചിച്ചു.ഇവിടെ ത്രികോണമിതിയിലെ ആദ്യഗ്രന്ഥം നാസറുദ്ദീൻ എന്ന ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ എഴുതി.കോണുകൾ ഒരു മിനുട്ട് വ്യത്യാസത്തിൽ പത്ത് ദശാംശസ്ഥാനങ്ങൾക്ക് ശരിയാക്കി സൈനിന്റേയും ടാൻജന്റിന്റേയും പട്ടികകൾ എഴുതി.

യൂറോപ്യൻ ത്രികോണമിതി

ഭാസ്കരാചാര്യ,വരാഹമിഹിരൻ,ആര്യഭടൻ എന്നിവരുടെ സംസ്കൃതഗ്രന്ഥങ്ങൾ അറബികൾ വിവർത്തനം ചെയ്ത് പ്രചരിപ്പിച്ചിരുന്നു.ഈ കൃതികളുടെ യൂറോപ്യൻ വിവർത്തനമാണ് പാശ്ചാത്യലോകത്ത് അടിത്തറയിട്ടത്.യൂറോപ്യൻ നവോത്ഥാനകാലഘട്ടത്തിൽ ജീവിച്ചിരുന്ന പലരും ഈ ശാഖയിൽ വിദഗ്ദ്ധരായിരുന്നു.പാർബാക്ക്(ജർമ്മൻ എ.ഡി15), റെറ്റിക്കസ്(ജർമ്മൻ,എ.ഡി16),ഫ്രാൻസിസ് വിയറ്റാ(ഫ്രഞ്ച് എ.ഡി16)ഇവർ പ്രമുഖരാണ്.വിയറ്റാ ആണ് വിശ്ലേഷണ സമീപനം അവതരിപ്പിച്ചത്.സൈൻ,കോസ് എന്നിവയുപയോഗിച്ച് ഘാതങ്ങളാക്കി എഴുതാം എന്നദ്ദേഹം കണ്ടെത്തി.

17ആം നൂറ്റാണ്ടോടെ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലുണ്ടായ വളർച്ച ത്രികോണമിതിയെ ആധുനിക ഏകദ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ ഒരു അവിഭാജ്യഘടകം ആക്കി മാറ്റി.ആധുനികത്രികോണമിതിയിലെ രണ്ട് പ്രമുഖർ എബ്രഹാം ഡിമോവിയറും ജോസഫ് ഫൊറിയറും ആണ്.ഡിമോവിയർ സിദ്ധാന്തവും ഫൊറിയർ തന്റെ താപവ്യാപനപഠനങ്ങൾക്കിടയിൽ കണ്ടെത്തുകയും പിൽക്കാലത്ത് ഫൊറിയർ ശ്രേണി എന്ന് വിശേഷിപ്പിക്കപ്പെടുകയും ചെയ്ത ശ്രേണിയും സുപ്രധാനങ്ങളാണ്.

ത്രികോണമിതീയ ആശയങ്ങൾ

പ്രാഥമിക ത്രികോണമിതീയ ആശയങ്ങൾ

സദൃശ (similar)ത്രികോണങ്ങളുടെ സവിശേഷതകളാണ് പ്രാഥമിക ത്രികോണമിതി പഠനങ്ങൾക്ക് അടിസ്ഥാനം. ആകൃതിയിൽ ഒരുപോലെയും വലിപ്പത്തിൽ വ്യത്യാസമുള്ളതുമായ ത്രികോണങ്ങളാണ് സദൃശ ത്രികോണങ്ങൾ. ഈജിപ്തിലെ പിരമിഡുകളുടെ ഉയരം, നിഴൽ ഗണനരീതിയിലൂടെ തേലീസ് കൃത്യമായി നിർണയിച്ചു. ഇത് സദൃശ ത്രികോണപഠനം സുഗമമാക്കി.

Δ PQR ,Δ ABCഎന്നിവ സദൃശ ത്രികോണങ്ങളാണെങ്കിൽ സമസ്ഥാനീയ (corresponding) വശങ്ങൾ ആനുപാതികമായിരിക്കും എന്ന നിയമത്തിൽനിന്നും, ${\frac {PQ}{QR}}={\frac {AC}{CB}}$എന്നു ലഭിക്കുന്നു. ഈ രീതിയിലൂടെ ഒരു വസ്തുവിന്റെ നേരിട്ടളക്കുവാൻ കഴിയാത്ത ഉയരം നിർണയിക്കാവുന്നതാണ്.

ആധുനിക ത്രികോണമിതീയ ആശയങ്ങൾ

ആധുനിക ത്രികോണമിതീയാശയങ്ങൾ 17-ാം ശ.-ത്തോടെയാണ് വികാസം പ്രാപിച്ചത്. ഗോളീയ ത്രികോണ നിർധാരണങ്ങൾക്ക് ജോൺ നേപ്പിയർ (1550-1617) കണ്ടുപിടിച്ച നിയമങ്ങൾ (നേപ്പിയർ നിയമങ്ങൾ) ഏറെ പ്രയോജനകരമാണ്. ത്രികോണമിതീയ ഫലനങ്ങളുടെ ആവർത്തികതാ (periodicity) സ്വഭാവങ്ങളെക്കുറിച്ച് ആദ്യമായി പ്രതിപാദിച്ചത് തോമസ് ഫാന്റേറ്റ് ലയ്നി (18-ാം ശ.) ആണ്. ഹൈപ്പർബോളീയ ഫലനങ്ങളെക്കൂടി ത്രികോണമിതിയുടെ പരിധിയിൽ ലാംബെർട്ട് (1728-77) ഉൾപ്പെടുത്തി. വാലിസ് (1616-1703), ദ് മ്വാവ്റ് (1667-1754), ഓയ്ലർ (1707-83), കെപ്ളർ (1571-1630) ഫൂറിയെ (1768-1830), ഗൌസ് (1777-1855), ഹെർഷൽ (19-ാം ശ.) തുടങ്ങിയവരും ത്രികോണമിതീയാശയങ്ങൾ ചിട്ടപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്. വിശ്ളേഷണ മേഖലയുടെ ഒരു ശാഖയായിട്ടാണ് ത്രികോണമിതിയെ ഓയ്ലർ വീക്ഷിച്ചത്. സമ്മിശ്ര ചരങ്ങളുടെ ഫലനങ്ങളായി ത്രികോണമിതീയ ഫലനങ്ങളെ സാമാന്യവത്കരിക്കാൻ ഇദ്ദേഹത്തിനു കഴിഞ്ഞു. ഫൂറിയെ വികസിപ്പിച്ചെടുത്തത്രികോണമിതീയ ശ്രേണികൾ പ്രയോജനപ്പെടുത്തി ഗണിതീയ ഭൗതികത്തിലെ പല സമസ്യകളും നിർധാരണം ചെയ്യാൻ സാധിക്കുന്നു.

മുൻകാലങ്ങളിൽ നിർമ്മാണപ്രവർത്തനങ്ങൾ, സർവേ, നാവിക വിദ്യ, ജ്യോതിശ്ശാസ്ത്രം തുടങ്ങിയ മേഖലകളിൽ മാത്രമായി ത്രികോണമിതിയുടെ ഉപയോഗം ഒതുങ്ങിയിരുന്നു. ഇന്ന് കലനം, വിശ്ളേഷണം, ബീജഗണിതം എന്നീ ഗണിതശാഖകളിലും ശബ്ദം, വൈദ്യുതി, പ്രകാശികം തുടങ്ങിയ ഭൌതികമേഖലകളിൽ ആവർത്തികതാ പ്രതിഭാസങ്ങൾ വിശകലനം ചെയ്യുന്നതിനും അവശ്യമാർഗ്ഗമായി ത്രികോണമിതി പ്രയോജനപ്പെടുന്നു.

സമതല ത്രികോണമിതി

സമതലത്തിലെ ത്രികോണങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനമാണ് സമതലത്രികോണമിതി. മൂന്ന് അസമരേഖാ ബിന്ദുക്കളെ (non-collinear points) മൂന്ന് രേഖാഖണ്ഡങ്ങളാൽ യോജിപ്പിക്കുന്ന രൂപമാണ് ത്രികോണം. ഒരു ത്രികോണം, അതുൾക്കൊള്ളുന്ന പ്രതലത്തെ ആശ്രയിച്ചാണിരിക്കുന്നത്. ത്രികോണത്തിന്റെ മൂന്നുവശങ്ങളും മൂന്നുകോണങ്ങളും ഇതിന്റെ അംഗ(elements)ങ്ങളാണ്. ഒരു സമതലത്തിൽ ത്രികോണത്തിനകത്തെ കോണങ്ങളുടെ തുക 180° ആണ് (യൂക്ളിഡിയൻ ജ്യാമിതി).

കോണങ്ങളുടെ ത്രികോണമിതീയ ഫലനങ്ങൾ

In this right triangle: sin A = a/c; cos A = b/c; tan A = a/b.

ഒരു മട്ടത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങളുടെ അംശബന്ധമായി ത്രികോണമിതീയ ഫലനങ്ങളെ നിർവചിക്കാവുന്നതാണ്. ഒരു കോൺ 90° ഉള്ള ത്രികോണമാണ് മട്ടത്രികോണം. സൈൻ (sine), കൊസൈൻ (cosine), ടാൻജെന്റ് (tangent) എന്നിവയും അവയുടെ വ്യുത്ക്രമങ്ങളായ കൊസീക്കന്റ്, സീക്കന്റ്, കോടാൻജെന്റ് എന്നിവയും ചേർന്നുള്ള ആറ് ത്രികോണമിതീയ ഫലനങ്ങൾ (Trigonometric functions) ഉണ്ട്. ലഘുരൂപത്തിൽ ഇവയെ സൈൻ (sin), കോസ് (cos), ടാൻ (tan), കൊസീക്ക് (cosec), സീക്ക് (sec), കോട്ട് (cot) എന്നിങ്ങനെ എഴുതാം.

ABCഎന്ന മട്ടത്രികോണത്തിൽ, Aഎന്ന ന്യൂനകോണത്തിന്റെ ത്രികോണമിതീയ ഫലനങ്ങൾ താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്നു.

• സൈൻ

$\sin A={\frac {\textrm {opposite}}{\textrm {hypotenuse}}}={\frac {a}{\,c\,}}\,.$

• കൊസൈൻ

$\cos A={\frac {\textrm {adjacent}}{\textrm {hypotenuse}}}={\frac {b}{\,c\,}}\,.$

• ടാൻജെന്റ്

$\tan A={\frac {\textrm {opposite}}{\textrm {adjacent}}}={\frac {a}{\,b\,}}={\frac {\sin A}{\cos A}}\,.$

കോണത്തിന്റെ മൂല്യത്തിനനുസരിച്ച് ഫലനങ്ങളുടെ വിലയ്ക്കു മാറ്റം വരുന്നതാണ്. വശങ്ങളുടെ നീളം എന്തുതന്നെ ആയിരുന്നാലും ഒരേ കോണത്തിന്റെ ത്രികോണമിതീയ ഫലനങ്ങൾ സ്ഥിരമായിരിക്കും. കൂടാതെ, ഒരു ന്യൂനകോണത്തിന്റെ ഏതു ത്രികോണമിതീയ ഫലനവും ആ കോണത്തിന്റെ പൂരകകോണത്തിന്റെ സഹഫലനത്തിനു (cofunction) തുല്യമായിരിക്കും. അതായത്, sin A = cos B,cos A = sin B,tan A =cot B എന്നും ചിത്രത്തിൽ നിന്നു കിട്ടുന്നതാണ്.

സൈൻ നിയമം

ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങൾ അവയ്ക്കെതിരെയുള്ള കോണങ്ങളുടെ സൈനുകൾക്ക് ആനുപാതികങ്ങളാണ്.

${\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}$

All of the trigonometric functions of an angle θ can be constructed geometrically in terms of a unit circle centered at O.

കൊസൈൻ നിയമം

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C,\,$

ഇതിന് തത്തുല്യമായ:

$\cos C={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}.\,$

ഇവ കൊസൈൻ നിയമങ്ങൾ എന്നറിയപ്പെടുന്നു.

ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ രണ്ട് വശങ്ങളും അവ ഉൾക്കൊള്ളുന്ന കോണവും തന്നിരുന്നാൽ മൂന്നാമത്തെ വശം കാണാൻ കൊസൈൻ നിയമം സഹായിക്കുന്നു.

ടാൻജെന്റ് നിയമം

ടാൻജെന്റ് നിയമം മൂന്ന് രൂപത്തിൽ എഴുതാം.

${\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\tan \left[{\tfrac {1}{2}}(A-B)\right]}{\tan \left[{\tfrac {1}{2}}(A+B)\right]}}$

${\frac {b-c}{b+c}}={\frac {\tan \left[{\tfrac {1}{2}}(B-C)\right]}{\tan \left[{\tfrac {1}{2}}(B+C)\right]}}$

${\frac {a-c}{a+c}}={\frac {\tan \left[{\tfrac {1}{2}}(A-C)\right]}{\tan \left[{\tfrac {1}{2}}(A+C)\right]}}$

പുറത്തേക്കുള്ള കണ്ണികൾ‌

• ഭാരതീയശാസ്‌ത്രജ്ഞർ-സംഗമഗ്രാമ മാധവൻ